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Análisis Matemático 66
2024
GUTIERREZ (ÚNICA)
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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)
1.
Encuentre los intervalos de crecimiento y de decrecimiento de las siguientes funciones
d) $f(x)=e^{(x-1)^{2}}$
d) $f(x)=e^{(x-1)^{2}}$
Respuesta
Para encontrar los intervalos de crecimiento y decrecimiento de $f(x)$ vamos a seguir los pasos que vimos en clase.
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1) Identificamos el dominio de $f(x)$
No hay ninguna restricción, el dominio es $\mathbb{R}$.
2) Derivamos $f(x)$
$ f'(x) = 2(x-1)e^{(x-1)^2} $
3) Igualamos \( f'(x) \) a cero
$ 2(x-1)e^{(x-1)^2} = 0 $
Atenti a esta manera de razonar ecuaciones como estas. En clases vimos varios ejemplos: Tenemos varios factores multiplicandose y esa multiplicación nos está dando cero, pero acordate que la exponencial jamás vale cero, la única chance que esta multiplicación de cero es si $x-1 = 0$, es decir, $x=1$.
Por lo tanto, $x=1$ es punto crítico.
4) Dividimos la recta real en intervalos donde sabemos que $f'(x)$ es continua y no tiene raíces:
$\square (-\infty, 1)$
$\square (1, +\infty)$
5) Evaluamos el signo de \( f'(x) \)
En $(-\infty, 1) \Rightarrow f'(x) < 0 \rightarrow$ Por lo tanto $f$ es decreciente
En $(1, +\infty) \Rightarrow f'(x) > 0 \rightarrow$ Por lo tanto $f$ es creciente
Intervalo de crecimiento: $(1, +\infty)$
Intervalo de decrecimiento: $(-\infty, 1)$
Por lo tanto, el punto crítico $x=1$ resultó ser un mínimo.